余数三大定理

职业教育网 2025-10-31 21:18:49

余数三大定理

余数三大定理有余数的加法定理：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。余数的乘法定理：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余。

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例：18，21除以5的余数分别是1和3，而18+21=39除以5的余数等于4，即是两个余数的和1+3.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c所得的余数。

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例：18，21除以5的余数分别是1和3，而18×21=378除以5的余数等于3，即是两个余数的积1×3.

当余数的积比除数大时，所求的余数等于两个余数的积再除以c所得的余数。

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a、b除以同一个数m，得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。

例：18，33除以5的余数都是3，则33－18=15一定能被5整除。

论证：设除数为x，第一个商为m，余数为a，则第一个被除数为mx+a，设第二个商为n（n＜m），余数为a，则第二个被除数为nx+a，两个被除数的差为：（m－n）x，（m+n）x是x的倍数，所以，两个被除数的差一定能被x整除。

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